Eigenschaften von Grenzmengen, Grenzzyklen

1. Eigenschaften von Grenzmengen:

Die im Abschnitt Invariante Mengen definierten - und -Grenzmengen besitzen für den Fluß der Differentialgleichung (17.1) mit die folgenden Eigenschaften. Sei ein beliebiger Punkt. Dann gilt:

1. Die Mengen und sind abgeschlossen.
2. Ist bzw. beschränkt, so ist bzw. . Außerdem ist bzw. in diesem Fall invariant unter dem Fluß von (17.1) und zusammenhängend.

Beispiel

Ist z. B. unbeschränkt, dann muß nicht unbedingt zusammenhängend sein (s. Abbildung).

2. Satz von Poincaré-Bendixson:

Für eine ebene autonome Differentialgleichung (17.1) (d.h. ) gilt der Satz von POINCAR´E-BENDIXSON:
Sei eine nicht periodische Lösung von (17.1), für die beschränkt ist. Enthält keine Ruhelagen von (17.1), so ist ein periodischer Orbit von (17.1).

Für autonome Differentialgleichungen in der Ebene sind also Attraktoren, die komplizierter als eine Ruhelage oder ein periodischer Orbit sind, nicht möglich.

3. Grenzzyklen:

Ein periodischer Orbit von (17.1) heißt Grenzzyklus, wenn es ein gibt, so daß entweder oder gilt. Ein Grenzzyklus heißt stabiler Grenzzyklus, wenn eine Umgebung U von existiert, so daß für alle ist, und instabiler Grenzzyklus, wenn eine Umgebung U von existiert, so daß für alle ist.

Beispiel A

Für den Fluß von (17.9a) gilt für den periodischen Orbit die Eigenschaft für alle . Also ist eine Umgebung von , mit der zum stabilen Grenzzyklus wird (s. Abbildung).

Beispiel B

Für die lineare Differentialgleichung ist dagegen ein periodischer Orbit, aber kein Grenzzyklus (s. Abbildung).