Definition, Separatrixflächen

Sei eine hyperbolische Ruhelage oder ein hyperbolischer periodischer Orbit von (17.1). Die stabile Mannigfaltigkeit (instabile Mannigfaltigkeit ) von ist die Menge aller der Punkte des Phasenraumes, durch die Orbits verlaufen, die für gegen streben:

Stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeiten bezeichnet man auch als Separatrixflächen.

Beispiel

In der Ebene wird die Differentialgleichung

betrachtet. Die Lösung von (17.19a) mit Anfang (x₀,y₀) zur Zeit t= 0 ist durch

explizit gegeben. Für die stabile bzw. instabile Mannigfaltigkeit der Ruhelage (0,0) von (17.19a) erhält man:

(s. Abbildung).

Es seien M und N zwei glatte Flächen des und L_xM bzw. L_xN die entsprechenden Tangentialebenen durch x an M bzw. N. Die Flächen M und N heißen transversal zueinander, wenn für alle die Beziehung

gilt.

Beispiel

Für den in der folgenden Abbildung dargestellten Schnitt gilt und . Also ist der in der Abbildung dargestellte Schnitt transversal.