Satz von Hadamard und Perron

Wichtige Eigenschaften der Separatrixflächen werden durch den Satz von HADAMARD und PERRON beschrieben:
Sei eine hyperbolische Ruhelage oder ein hyperbolischer periodischer Orbit von (17.1).

1. und sind verallgemeinerte C^r-Flächen, d.h. immersierte C^r-Mannigfaltigkeiten, die lokal wie C^r-glatte Elementarflächen aussehen. Jeder Orbit von (17.1), der für oder nicht gegen strebt, verläßt eine hinreichend kleine Umgebung von für oder .
2. Ist eine Ruhelage vom Typ (m, k), so sind W^s(x₀) und W^u(x₀) Flächen der Dimension m bzw. . Die Fläche W^s(x₀) bzw. W^u(x₀) tangiert in x₀ den stabilen Untervektorraum

   bzw. den instabilen Untervektorraum
3. Ist ein hyperbolischer periodischer Orbit vom Typ so sind und Flächen der Dimension m + 1 bzw. , die sich längs transversal schneiden (s. Abbildung).
   

   

Beispiel A

Nochmalige Betrachtung der Differentialgleichung (17.19a) und Benutzung für die Bestimmung einer lokalen stabilen Mannigfaltigkeit der Ruhelage (0,0) von (17.19a) den Ansatz

Sei (x(t), y(t)) eine Lösung von (17.19a), die in W^s_loc((0,0)) liegt. Aufgrund der Invarianz für zu t benachbarten Zeiten s ergibt sich . Durch Differentiation und Darstellung von und über das System (17.19a) ergibt sich für die unbekannte Funktion h(x) das Anfangswertproblem . Über den Reihenansatz , in dem h'(0) = 0 beachtet wurde, ergibt sich durch Einsetzen und Koeffizientenvergleich und a_k = 0 für .

Beispiel B

Für das System

mit einem Parameter ist ein periodischer Orbit mit den Multiplikatoren und . In Zylinderkoordinaten hat die Lösung von (17.21) mit Anfang zur Zeit t=0 die Darstellung , wobei r(t,r₀) und die Lösung von (17.9a) in Polarkoordinaten ist. Damit ist

Die beiden Separatrixflächen sind in der folgenden Abbildung zu sehen: