Typen der Ruhelagen

Es sei x₀ eine Ruhelage von (17.3) mit . Das lokale Verhalten der Iteration (17.3) nahe x₀ wird, unter gewissen Voraussetzungen, durch die Variationsgleichung bestimmt. Besitzt keinen Eigenwert mit , so heißt die Ruhelage , analog zum Differentialgleichungfall, hyperbolisch. Die hyperbolische Ruhelage x₀ ist vom Typ , wenn Df(x₀) genau m Eigenwerte innerhalb und k = n - m Eigenwerte außerhalb des komplexen Einheitskreises besitzt. Die hyperbolische Ruhelage vom Typ (m,k) heißt für m = n Senke, für k = n Quelle und für m > 0 und k > 0 Sattel.

Es gilt der folgende
Satz über Stabilität in der ersten Näherung für zeitdiskrete dynamische Systeme: Eine Senke ist asymptotisch stabil; Quellen und Sattel sind instabil.