Definition der strukturellen Stabilität

Die Differentialgleichung (17.1), d.h. das Vektorfeld , heißt strukturstabil (oder robust), wenn bei kleinen Störungen von f topologisch äquivalente Differentialgleichungen entstehen. Die präzise Definition der Strukturstabilität erfordert einen Abstandsbegriff zwischen zwei Vektorfeldern auf . Wir beschränken uns auf die Betrachtung solcher glatter Vektorfelder auf , die alle eine feste offene, beschränkte und zusammenhängende Menge als absorbierende Menge besitzen. Der Rand von U sei eine glatte (n-1)-dimensionale Hyperfläche und sei darstellbar als , wobei eine C¹-Funktion mit in einer Umgebung von ist. Sei der metrische Raum aller glatten Vektorfelder auf , versehen mit der C¹-Metrik

(Im ersten Term der rechten Seite bedeutet die EUKLIDische Vektornorm, im zweiten die Operatornorm.) Diejenigen glatten Vektorfelder , die transversal den Rand in Richtung U schneiden, d.h., für die und gilt, bilden die Menge . Das Vektorfeld heißt strukturstabil, wenn es ein gibt, so daß jedes andere Vektorfeld mit topologisch äquivalent zu f ist.

Beispiel

Betrachtet wird die ebene Differentialgleichung

mit einem Parameter , wobei sei. Die Differentialgleichung g gehört z.B. zu mit (s. linke Abbildung). Offenbar gilt . Das Vektorfeld ist strukturell instabil, da beliebig nahe von Vektorfelder existieren, die topologisch nicht äquivalent zu sind (s. mittlere und rechte Abbildung).

Dies wird klar, wenn man zur Polarkoordinatendarstellung von (17.26) übergeht. Für existiert immer der stabile Grenzzyklus .