Generische Eigenschaften von ebenen Systemen, Hamilton-Systeme

Für ebene Differentialgleichungen ist die Menge aller strukturstabilen Systeme aus offen und dicht in . Strukturstabile Systeme sind für die Ebene also typisch. Typisch ist also auch, daß jeder Orbit eines ebenen Systems aus X¹₊(U) für wachsende Zeiten gegen eine endliche Anzahl von Ruhelagen und periodischer Orbits geht. Quasiperiodische Orbits sind nicht typisch. Unter bestimmten Voraussetzungen bleiben aber bei HAMILTON-Systemen quasiperiodische Orbits bei kleinen Störungen der Differentialgleichung erhalten. HAMILTON-Systeme sind also keine typischen Systeme.

Beispiel

Gegeben sei im das HAMILTON-System (in Winkel-Wirkungsvariablen)

wobei die HAMILTON-Funktion H₀(j₁,j₂) analytisch ist. Offenbar hat dieses System die Lösungen

mit Konstanten , wobei und von c₁ und c₂ abhängen können. Die Beziehung (j₁,j₂) = (c₁,c₂) definiert einen invarianten Torus . Es wird nun anstelle von H₀ die gestörte HAMILTON-Funktion

betrachtet, wobei H₁ analytisch und ein kleiner Parameter sei.
Das Theorem von KOLMOGOROV-ARNOLD-MOSER (KAM-Theorem) sagt in dieser Situation aus, daß, falls H₀ nichtdegeniert ist, d.h. gilt, für hinreichend kleine im gestörten HAMILTON-System die Mehrzahl der invarianten nichtresonanten Tori nicht verschwindet, sondern nur leicht deformiert wird. Mehrzahl ist in dem Sinne zu verstehen, daß das LEBESGUE-Maß der bezüglich der Tori gebildeten Komplementmenge gegen Null geht, wenn gegen 0 geht. Ein oben definierter Torus, charakterisiert durch und , heißt nichtresonant, wenn es eine Konstante c > 0 gibt, so daß für alle positiven ganzen Zahlen p und q die Ungleichung gilt.