Nichtwandernde Punkte, Morse-Smale-Systeme

Sei ein dynamisches System auf der n-dimensionalen kompakten orientierbaren Mannigfaltigkeit . Der Punkt heißt nichtwandernd bezüglich , wenn für eine beliebige Umgebung von p gilt:

Beispiel

Ruhelagen und periodische Orbits bestehen nur aus nichtwandernden Punkten.

Die Menge aller nichtwandernden Punkte des von (17.1) erzeugten dynamischen Systems ist abgeschlossen, invariant unter und enthält alle periodischen Orbits und alle -Grenzmengen von Punkten aus .

Das dynamische System auf , erzeugt durch ein glattes Vektorfeld, heißt MORSE-SMALE-System, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Das System hat endlich viele Ruhelagen und periodische Orbits und alle sind hyperbolisch.
2. Alle stabilen und instabilen Mannigfaltigkeiten von Ruhelagen bzw. periodischen Orbits sind transversal zueinander.
3. Die Menge aller nichtwanderenden Punkte besteht nur aus Ruhelagen und periodischen Orbits.

Satz von Palis und Smale: MORSE-SMALE-Systeme sind strukturstabil.
Die Umkehrung des Satzes von PALIS und SMALE gilt nicht: Es existieren für strukturstabile Systeme mit unendlich vielen periodischen Orbits.

Für sind strukturstabile Systeme nicht typisch.