Dimension eines Maßes

Sei ein Wahrscheinlichkeitsmaß in konzentriert auf . Ist ein beliebiger Punkt, die Kugel mit Radius und Mittelpunkt x, so bezeichnen

die obere und

die untere punktweise Dimension.

Ist , so heißt Dimension des Maßes in .

Satz I von Young: Gilt für fast alle die Beziehung , so ist

Die Größe heißt HAUSDORFF-Dimension des Maßes .

Beispiel

Es sei , und es sei eine kompakte Kugel mit dem LEBESGUE-Maß . Für die Einschränkung von auf gelte . Dann ist und .