Gewöhnliches Iterationsverfahren

Zur Lösung einer Gleichung, die auf die Fixpunktform gebracht worden ist, verwendet man die naheliegende Iterationsvorschrift

die als gewöhnliches Iterationsverfahren bezeichnet wird. Es konvergiert gegen eine Lösung , wenn die Abbildung in einer Umgebung von kontrahierend ist (s. Fundamentale Sätze in vollständigen metrischen Räumen), d.h., wenn

gilt und die Ausgangsnäherung x₀ in dieser Umgebung liegt (s. Abbildung).

Ist differenzierbar, dann lautet die entsprechende Bedingung

Die Konvergenz des gewöhnlichen Iterationsverfahrens ist um so besser, je kleiner die Zahl K ist.

Beispiel

, d.h. .

Hinweise:

1. Im Falle komplexer Lösungen setzt man . Durch Trennung von Real- und Imaginärteil geht die zu lösende Gleichung in ein System zweier Gleichungen für die reellen Unbekannten u und v über.
2. Die iterative Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme wird in Abschnitt Nichtlineare Gleichungen behandelt.