Newton-Verfahren

1. Vorschrift des NEWTON-Verfahrens:

Zur Lösung der Nullstellengleichung f(x) = 0 verfährt das NEWTON-Verfahren nach der Vorschrift

d.h., es benötigt zur Berechnung des neuen Näherungswertes x_n+1 die Werte der Funktion f(x) und ihrer 1. Ableitung f'(x) an der Stelle .

2. Konvergenz des Newton-Verfahrens:

Für die Durchführbarkeit und Konvergenz des NEWTON-Verfahrens ist die Bedingung

erforderlich, die Bedingung

hinreichend. Die Bedingungen (19.7a,b) müssen in einer Umgebung von , die alle Punkte x_n enthält, erfüllt sein. Falls das NEWTON-Verfahren konvergiert, dann konvergiert es so gut, daß sich bei jedem Iterationsschritt die Anzahl der genauen Stellen etwa verdoppelt. Man spricht in diesem Fall auch von quadratischer Konvergenz.

Beispiel

Zur Lösung der Gleichung , d.h. speziell zur Berechnung der Werte  (a > 0 gegeben) liefert das NEWTON-Verfahren die Iterationsvorschrift

Für a=2 erhält man:        

3. Geometrische Interpretation:

Die geometrische Interpretation des NEWTON-Verfahrens ist in der folgenden Abbildung dargestellt:

Die Grundidee des NEWTON-Verfahrens besteht in der lokalen Approximation der Kurve y = f(x) durch eine Tangente.

4. Modifiziertes Newton-Verfahren:

Wenn sich im Laufe der Iteration die Werte von f'(x_n) nur noch unwesentlich ändern, kann man diese konstant lassen und mit dem sogenannten modifizierten NEWTON-Verfahren weiterrechnen:

Die Güte der Konvergenz wird durch diese Vereinfachung nicht wesentlich beeinflußt.

5. Differenzierbare Funktionen komplexen Argumentes:

Das NEWTON-Verfahren ist auch auf differenzierbare Funktionen komplexen Arguments anwendbar.