Gewöhnliches Iterationsverfahren

Das gewöhnliche Iterationsverfahren geht davon aus, daß sich die Gleichungen (19.55) auf eine Fixpunktform

bringen lassen. Dann erhält man, von den geschätzten Näherungswerten ausgehend, verbesserte Werte durch

1. Iteration in Gesamtschritten:

2. Iteration in Einzelschritten:

Für die Güte der Konvergenz dieser Verfahren ist ausschlaggebend, daß die Funktionen f_i in der Umgebung einer Lösung möglichst schwach von den Unbekannten abhängen, d.h., falls die f_i differenzierbar sind, müssen die Beträge der partiellen Ableitungen möglichst klein sein. Als Konvergenzbedingung erhält man

auf einer Umgebung der anzunähernden Lösung. Mit einer solchen Größe K gilt die Fehlerabschätzung

Dabei sind x_i die Komponenten der gesuchten Lösung, und die zugehörigen -ten und -ten Näherungen.