Numerische Lösung von Gleichungssystemen

Bei vielen praktischen Aufgaben werden für n unbekannte Größen Bedingungen in Gleichungsform gestellt:

Die Unbekannten x_i sind so zu bestimmen, daß sie eine Lösung des Gleichungssystems (19.23) darstellen. In der Regel ist , d.h., die Anzahl der Unbekannten stimmt mit der Anzahl der Gleichungen überein. Im Falle m > n bezeichnet man (19.23) als überbestimmtes System, im Falle m < n als unterbestimmtes System.
Überbestimmte Systeme haben in der Regel keine Lösung. Man formuliert deshalb die zu (19.23) gehörende Quadratmittelaufgabe

als Ersatzaufgabe. Im unterbestimmten Fall können im allgemeinen n-m Unbekannte frei gewählt werden, so daß die Lösung von (19.23) von n-m Parametern abhängt. Man spricht dann von einer (n-m)-dimensionalen Lösungsmannigfaltigkeit.
Man unterscheidet lineare und nichtlineare Gleichungssysteme, je nachdem, ob in (19.23) die Unbekannten nur linear oder auch nichtlinear auftreten.

• Lineare Gleichungssysteme
  • Dreieckszerlegung einer Matrix
  • Cholesky-Verfahren bei symmetrischer Koeffizientenmatrix
  • Orthogonalisierungsverfahren
  • Iteration in Gesamt- und Einzelschritten
  
  
• Nichtlineare Gleichungssysteme
  • Gewöhnliches Iterationsverfahren
  • Newton-Verfahren
  • Ableitungsfreies Gauß-Newton-Verfahren