Ansatz

Für die gesuchte Funktion u(x,y) wird in jedem Dreieck ein Ansatz gemacht. Ein Dreieck mit zugehörigem Ansatz wird als finites Element bezeichnet. Dafür eignen sich Polynome in x und y. In vielen Fällen reicht der lineare Ansatz

aus. Die Ansatzfunktionen müssen beim Übergang von einem Dreieck ins benachbarte zumindest stetig sein, damit eine stetige Gesamtlösung entsteht.
Die Koeffizienten und a₃ in (19.146) lassen sich eindeutig durch die drei Funktionswerte und u₃ in den Eckpunkten des zugehörigen Dreiecks ausdrücken. Dadurch ist gleichzeitig der stetige Übergang in die benachbarten Dreiecke gesichert. Der Ansatz (19.146) enthält damit als unbekannte Parameter die Näherungen u_i für die gesuchten Funktionswerte. Als Ansatz, der im gesamten Gebiet G für die gesuchte Lösung u(x,y) als Näherung verwendet wird, wählt man

Die Koeffizienten sind noch geeignet zu bestimmen. Für die Funktionen soll gelten: Sie stellen über jedem Dreieck von eine lineare Funktion gemäß (19.146) dar und erfüllen die folgenden Bedingungen:

Die Darstellung von über zeigt die folgende Abbildung:

Die Berechnung von über , d.h. über den Dreiecken 1 bis 6 in der Abbildung, soll für das Dreieck 1 gezeigt werden:

Aus (19.149b) folgt , und man erhält für Dreieck 1:

Analog berechnet man: