Mehrdimensionale Aufgaben

1. Ausgleichsaufgabe:

Es soll die folgende diskrete mehrdimensionale Ausgleichsaufgabe behandelt werden:
Eine Funktion der n unabhängigen Variablen sei formelmäßig nicht bekannt, aber es seien N Funktionswerte , im allgemeinen Meßwerte, in einer Wertetabelle gegeben:

Die Schreibweise wird übersichtlicher und die Analogie zur eindimensionalen Ausgleichsaufgabe deutlicher, wenn man folgende Vektoren einführt:

Zur Approximation von werde ein Ansatz der Form

verwendet. Dabei sind die m+1 Funktionen geeignet gewählte Ansatzfunktionen.

Beispiel A

Linearer Ansatz in n Variablen:
.

Beispiel B

Vollständiger quadratischer Ansatz in 3 Variablen:
.
Die Ansatzkoeffizienten sind so zu bestimmen, daß

gilt.

2. Normalgleichungssystem:

Bildet man analog zu (19.177b) die Matrix G, indem man formal die Stützstellen durch die vektoriellen Stützstellen ersetzt, dann kann man auch im vorliegenden mehrdimensionalen Fall zur Bestimmung der Ansatzkoeffizienten das Normalgleichungssystem

oder das überbestimmte lineare Gleichungssystem

verwenden.

Beispiel

Ein Beispiel findet man bei der mehrdimensionalen Regression.