Diskrete Tschebyscheff-Approximation und Optimierung

Von der stetigenTSCHEBYSCHEFFschen Approximationsaufgabe

kommt man zur zugehörigen diskreten Aufgabe, indem man N Stützstellen ; mit der Eigenschaft wählt und

fordert. Substituiert man

dann folgt daraus unmittelbar

Durch Auflösen der Beträge in (19.203) erhält man ein System von linearen Ungleichungen für die Koeffizienten a_i und , so daß aus (19.201) die lineare Optimierungsaufgabe

wird. Die Aufgabe (19.204) besitzt eine Minimallösung mit . Für eine hinreichend große Anzahl N von Stützstellen kann unter bestimmten Bedingungen die Lösung der diskreten Aufgabe als Näherung für die Lösung der stetigen Aufgabe angesehen werden.
Verwendet man an Stelle der linearen Näherungsfunktion eine Näherungsfunktion , die nichtlinear von den Parametern abhängt, dann erhält man in analoger Weise eine Optimierungsaufgabe, und zwar eine nichtlineare Optimierungsaufgabe, die in der Regel schon bei einfachen nichtlinearen Ansätzen nicht konvex ist. Das ist eine wesentliche Einschränkung im Hinblick auf die Wahl numerischer Lösungsverfahren für
nichtlineare Optimierungsaufgaben.