Pascalsche Schnecke

Einen weiteren Spezialfall der allgemeinen Konchoide, die Konchoide des Kreises, mit der Bedingung (2.221), wobei der Koordinatenursprung auf dem Kreis liegt, nennt man PASCALsche Schnecke.
Die Gleichung lautet in kartesischen und Polarkoordinaten sowie in Parameterform:

Dabei ist a der Durchmesser des Kreises.
Die Scheitel A und B liegen bei Die Form der Kurve hängt von den Größen a und l ab, wie man aus den drei Abbildungen für die Konchoide des Kreises erkennen kann.

1. Extremwerte und Wendepunkte:

Für a > l hat die Kurve vier Extremwerte C, D, E, F, für zwei; sie liegen bei
Für a < l < 2a existieren zwei Wendepunkte G und H bei

2. Doppeltangenten:

Für l < 2a gibt es in den Punkten I und K und zwar bei eine gemeinsame Tangente.

3. Singulärer Punkt:

Der Koordinatenursprung ist ein singulärer Punkt. Für a < l ist er ein isolierter Punkt, für a > l ein Doppelpunkt mit den Tangentenrichtungen und dem Krümmungsradius . Für a = l handelt es sich um einen Rückkehrpunkt; die Kurve nennt man dann Kardioide.

Der Flächeninhalt der Schnecke beträgt wobei im Falle a > l der Flächeninhalt der inneren Schleife nach dieser Formel doppelt gezählt wird.