Cassinische Kurven

CASSINIsche Kurven nennt man den geometrischen Ort aller Punkte P, für die das Produkt der Abstände von zwei festen Punkten F₁ und F₂ bei (c,0) bzw. , den Fixpunkten, konstant gleich a² ist:

Die Gleichung lautet in kartesischen und Polarkoordinaten:

Die Form der Kurve hängt von den Größen a und c ab:

1. Fall

Für ist die Kurve ein ellipsenförmiges Oval.
Die Schnittpunkte A und C mit der x-Achse liegen bei , die Schnittpunkte B und D mit der y-Achse bei

2. Fall

Für den Fall ergibt sich eine Kurve des gleichen Typs mit A und C bei und B und D bei wobei die Krümmung in den Punkten B und D gleich 0 ist, d.h., es gibt eine enge Berührung mit den Geraden

3. Fall

Für ist die Kurve ein eingedrücktes Oval.
Die Achsenschnitte sind dieselben wie im Falle ebenso das Maximum und das Minimum B, D, während die weiteren Extrema E, G, K, I bei liegen und die vier Wendepunkte P, L, M, N bei mit und

4. Fall a = c:

Für a = c ergibt sich die Lemniskate.

5. Fall a < c:

Für a < c ergeben sich zwei Ovale.
Die Schnittpunkte A und C mit der x-Achse liegen bei die Schnittpunkte P und Q bei die Maxima und Minima E, G, K, I bei
Der Krümmungsradius beträgt wobei der Polarkoordinatendarstellung genügt.