Verlängerte und verkürzte Zykloiden oder Trochoiden werden von einem Punkt beschrieben, der sich 1. außerhalb oder 2. innerhalb eines Kreises auf einem vom Kreismittelpunkt ausgehenden und mit dem Kreis fest verbundenen Strahl befindet, während der Kreis, ohne zu gleiten, auf einer Geraden abrollt.
Die Gleichung der Trochoiden in Parameterform lautet mit a als Radius des Kreises:
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(2.232a) |
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(2.232b) |
wobei t der Winkel 
ist. Wegen 
bestimmt 
die verlängerte Zykloide und 
die verkürzte.
Die Periode der Kurven ist 
Die Maxima liegen bei 
die Minima bei 
Die verlängerte Zykloide besitzt bei 
Doppelpunkte, wobei t0 die kleinste positive Wurzel der Gleichung 
ist.
Die verkürzte Zykloide besitzt Wendepunkte bei
.
Die Länge eines Bogens von Bk bis Bk+1berechnet sich zu 
Der Inhalt der in der Abbildung schraffiert gezeichneten Fläche beträgt 
Für den Krümmungsradius erhält man 
in den Maxima 
und in den Minima 