Epizykloide

Epizykloide wird eine Kurve genannt, die von einem Peripheriepunkt eines Kreises beschrieben wird, wenn dieser, ohne zu gleiten, auf der Außenseite eines anderen Kreises abrollt.

Die Gleichung der Epizykloide lautet in Parameterform mit A als Radius des festen und a als Radius des rollenden Kreises

wobei gilt. Die Form der Kurve hängt vom Quotienten ab.
Für m = 1 erhält man die Kardioide.

1. Fall m ganzzahlig:

Für m ganzzahlig besteht die Kurve aus m, den feststehenden Kreis umgebenden Kurvenzweigen.
Die Spitzen liegen bei die Scheitelpunkte bei

2. Fall m gebrochenrational:

Für m gebrochenrational überdecken sich die Zweige gegenseitig, der sich bewegende Punkt P kehrt aber nach einer endlichen Zahl von Durchläufen in die Anfangslage zurück.

3. Fall m irrational:

Für m irrational ist die Anzahl der Durchläufe unendlich, und der Punkt P kehrt nicht in die Anfangslage zurück.

Die Länge eines Zweiges beträgt Bei ganzzahligem m ist die Länge der gesamten Kurve
Die Fläche des Sektors A₁B₁A₂A₁ beträgt (ohne den Sektor des festen Kreises)
Der Krümmungsradius ist in den Scheiteln