Konvergenzkriterium von Cauchy

Damit eine Funktion f(x) an der Stelle x=a einen Grenzwert besitzt, ist es notwendig und hinreichend, daß sich die Funktionswerte f(x₁) und f(x₂) für zwei beliebige Werte x₁ und x₂ der unabhängigen Variablen, die zum Definitionsbereich gehören und in hinreichender Nähe von a liegen, beliebig wenig voneinander unterscheiden.

Exakte Formulierung: Damit eine Funktion f(x) an der Stelle x=a einen Grenzwert besitzt, ist es notwendig und hinreichend, daß sich nach Vorgabe einer beliebig kleinen positiven Zahl eine zweite positive Zahl angeben läßt, so daß für zwei beliebige Werte x₁ und x₂ aus dem Definitionsbereich, die den Bedingungen

genügen, die Ungleichung

erfüllt ist.