Analytische Bedingung für die Unabhängigkeit

Im Falle zweier Funktionen u=f(x,y) und darf ihre Funktionaldeterminante

in dem betrachteten Gebiet nicht identisch verschwinden. Analog gilt im Fall von n Funktionen mit n Veränderlichen

Wenn die Anzahl m der Funktionen kleiner ist als die Anzahl n der Veränderlichen dann sind diese Funktionen unabhängig, sofern wenigstens eine Unterdeterminante m-ter Ordnung der folgenden Matrix nicht verschwindet.

Die Anzahl der unabhängigen Funktionen ist gleich dem Rang r dieser Matrix. Hierbei werden diejenigen Funktionen unabhängig sein, deren Ableitung als Elemente in der nicht identisch verschwindenden Unterdeterminante r-ter Ordnung stehen.
Wenn m > n ist, dann können von den gegebenen m Funktionen höchstens n unabhängig sein.