Nepersche Regel

Die NEPERsche Regel faßt die Gleichungen (3.206a) bis (3.206j) zusammen. Eine schematische Darstellung liefert die folgende Abbildung.

Wenn die 5 Bestimmungsstücke eines rechtwinklig sphärischen Dreiecks ohne Berücksichtigung des rechten Winkels in einem Kreis in der gleichen Reihenfolge angeordnet werden wie im Dreieck und wenn dabei die Katheten a,b durch ihre Komplementwinkel und ersetzt werden, dann gilt:

Der Kosinus jedes Bestimmungsstücks

ist gleich dem Produkt der Kotangensfunktionen seiner beiden anliegenden Bestimmungsstücke.

Der Kosinus jedes Bestimmungsstücks

ist gleich dem Produkt aus den Sinus der nicht anliegenden Bestimmungsstücke.

Beispiel A

     (s.(3.206f)).

Beispiel B

     (s.(3.206a)).

Beispiel C

Das Gradnetz einer Kugel ist auf einen Zylinder abzubilden, der die Kugel in einem Meridian berührt. Der Berührungsmeridian und der Äquator bilden die Achsen eines GAUSS-KR¨UGER-Systems.

Lösung: Ein Punkt P der Kugeloberfläche wird zu P' der Ebene. Der Großkreis g durch P senkrecht zum Berührungsmeridian bildet sich als Gerade g' senkrecht zur x-Achse und der Kleinkreis k durch P parallel zum Berührungsmeridian als Gerade k' parallel zur x-Achse ab. Der Meridian m durch P hat als Bild keine Gerade, sondern eine Kurve m'. Die nach oben zeigende Richtung der Tangente von m' in P' gibt die geographische Nordrichtung an, die nach oben zeigende Richtung von k' die geodätische Nordrichtung. Der Winkel zwischen beiden Nordrichtungen heißt Meridiankonvergenz.
Im rechtwinklig sphärischen Dreieck QPN mit und ergibt sich aus Nach der NEPERschen Regel ist oder Da und meist klein sind, folgt mit daraus Die Längenverzerrung dieses Zylinderentwurfes ist bei kleinen Abständen gering, und es kann gesetzt werden, wobei y der Rechtswert von P ist. Man erhält Die Umrechnung von aus dem Bogen- ins Gradmaß ergibt für eine Meridiankonvergenz von bzw.