Eigenschaften der Produkte von Vektoren

a) Das Skalarprodukt

genügt dem Kommutativgesetz:

b) Das Vektorprodukt

ändert beim Vertauschen der Faktoren das Vorzeichen:

c) Die Multiplikation

mit einem Skalar genügt dem Assoziativgesetz:

d) Das Assoziativgesetz

gilt nicht für das doppelte Skalar-und Vektorprodukt:

e) Das Distributivgesetz

gilt:

f) Orthogonalität zweier Vektoren

liegt vor, wenn gilt:

g) Kollinearität zweier Vektoren

liegt vor, wenn gilt:

h) Multiplikation

gleicher Vektoren:

i) Multiplikationen von Linearkombinationen von Vektoren

können auf die gleiche Art durchgeführt werden wie bei skalaren Polynomen, allerdings ist dabei zu beachten, daß bei der vektoriellen Multiplikation Faktorenvertauschungen, z.B. beim Zusammenziehen gleichnamiger Glieder, Vorzeichenänderungen zur Folge haben.

Beispiel A

Beispiel B

j) Skalare Invariante

heißt ein Skalar, der bei Verschiebung und Drehung des Koordinatensystems den gleichen Wert behält. Das skalare Produkt zweier Vektoren ist eine skalare Invariante.

Beispiel A

Die Komponenten eines Vektors sind keine skalaren Invarianten, da sie in verschiedenen Koordinatensystemen unterschiedliche Werte annehmen können.

Beispiel B

Die Länge eines Vektors d.h. die Größe ist eine skalare Invariante, da sie in verschiedenen Koordinatensystemen den gleichen Wert besitzt.

Beispiel C

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ist eine skalare Invariante, d.h. da .