Parabel

1. Elemente der Parabel

In der folgenden Abbildung ist die x-Achse mit der Parabelachse identisch, 0 ist der Scheitel der Parabel, F der Brennpunkt der Parabel, der sich im Abstand p/2 vom Koordinatenursprung auf der x-Achse befindet, wobei p Halbparameter der Parabel genannt wird.

Mit NN' ist die Leitlinie bezeichnet, d.h. eine Gerade, die senkrecht auf der Parabelachse steht und diese im Abstand p/2 auf der dem Brennpunkt entgegengesetzten Seite schneidet. Somit ist der Halbparameter auch gleich der halben Länge der Sehne, die im Brennpunkt senkrecht auf der Achse steht. Die numerische Exzentrizität der Parabel ist gleich eins.
(S. auch Leitlinieneigenschaft der Kurven zweiter Ordnung.)

2. Gleichung der Parabel

Wenn der Koordinatenursprung in den Scheitel der Parabel gelegt wird, die x-Achse mit der Parabelachse zusammenfällt und der Parabelscheitel nach links weisen soll, dann lautet die Normalform der Parabelgleichung

Die Gleichung der Parabel in Polarkoordinaten ist unter Polargleichung der Kurven 2. Ordnung zu finden.

Für Parabeln mit vertikaler Achse lauten die Parabelgleichung und der Halbarameter dieser so gegebenen Parabel

Ist so ist die Parabel nach oben geöffnet, für a < 0 ist sie nach unten geöffnet. Die Koordinaten des Scheitels sind

3. Haupteigenschaft der Parabel

(Definition der Parabel) Die Parabel ist der geometrische Ort aller Punkte die von einem festen Punkt, dem Brennpunkt, und einer festen Geraden, der Leitlinie, gleich große Entfernung besitzen.

Hier und in den folgenden Formeln in kartesischen Koordinaten wird die Normalform der Parabelgleichung angenommen. Dann ist

wobei der vom Brennpunkt ausgehende Radius des Parabelpunktes ist.

4. Durchmesser der Parabel

Durchmesser der Parabel wird eine Gerade genannt, die parallel zur Parabelachse liegt.

Ein Parabeldurchmesser halbiert die Sehnen, die zur Tangente im Endpunkt des Durchmessers parallel liegen. Mit dem Richtungskoeffizienten k der Sehnen lautet die Gleichung des Durchmessers

5. Tangente an die Parabel

Die Gleichung der Tangente an die Parabel im Punkt P(x₀,y₀) lautet

Tangente und Normale der Parabel sind Winkelhalbierende für die Winkel zwischen dem vom Brennpunkt ausgehenden Radiusvektor und dem Durchmesser des Berührungspunktes. Die Strecke auf der Parabeltangente zwischen dem Berührungspunkt und dem Schnittpunkt mit der Parabelachse auf der x-Achse wird durch die Tangente im Parabelscheitel, d.h. durch die y-Achse halbiert:

Eine Gerade mit der Gleichung y =kx +b ist eine Tangente an die Parabel, wenn gilt:

6. Krümmungskreisradius der Parabel

Für den Krümmungskreisradius der Parabel im Punkt P(x₁,y₁) mit l_n als Normalenlänge und u als als Winkel zwischen Tangente und x-Achse gilt allgemein

und speziell im Scheitel 0:

7. Flächeninhalte in der Parabel

a) Parabelsegment P0N:

b) Parabelfläche 0PR:

8. Länge des Parabelbogens

Die Länge des Parabelbogens vom Scheitel 0 bis zum Punkt P(x,y) beträgt

l_0P = (3.374a)

= (3.374b)

Für kleine Werte von gilt näherungsweise