Rechts- und Linkssysteme

In Abhängigkeit von der gegenseitigen Aufeinanderfolge der positiven Koordinatenrichtungen unterscheidet man Rechtssysteme und Linkssysteme oder rechtshändige bzw. linkshändige Koordinatensysteme. Ein Rechtssystem besitze z.B. drei in der alphabetischen Reihenfolge genommene und nicht in einer Ebene liegende Einheitsvektoren Die Rechtshändigkeit kommt dann dadurch zum Ausdruck, daß eine Drehung eines der Vektoren um den gemeinsamen Koordinatenursprung auf den nächsten in der alphabetischen Reihenfolge bis zur Überdeckung auf dem kürzesten Wege im Gegenuhrzeigersinn ausgeführt werden kann. Symbolisch stellt man diesen Sachverhalt mit Hilfe der folgenden Abbildung dar.

Die hier eingezeichneten Seiten a,b,c sind durch die Indizes i,j,k zu ersetzen. Ein Linkssystem erfordert Drehungen dieser Art im Uhrzeigersinn. Rechts- und Linkssysteme können durch Vektorvertauschung ineinander überführt werden. Die Vertauschung zweier Vektoren ändert die Händigkeit des Systems, d.h. seine Orientierung: Aus einem Rechtssystem wird ein Linkssystem und umgekehrt aus einem Linkssystem ein Rechtssystem.
Eine wichtige Art der Vektorvertauschung ist die zyklische Vertauschung, bei der die Orientierung erhalten bleibt. Gemäß Abbildung erfolgt die Vertauschung der Vektoren im Rechtssystem im Gegenuhrzeigersinn, d.h. nach dem Schema
Im Linkssystem erfolgt die Vertauschung der Vektoren im Uhrzeigersinn, d.h. nach dem Schema
Ein Rechtssystem kann mit keinem Linkssystem zur Deckung gebracht werden.
Die Spiegelung eines Rechtssystems am Koordinatenursprung führt auf ein Linkssystem.

Beispiel A und B

Linke Abbildung: Das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen x,y,z ist ein Rechtssystem .

Rechte Abbildung: Das kartesische Koordinatensystem mit den Koordinatenachsen x,z,y ist ein Linkssystem .

Beispiel C

Aus dem Rechtssystem wird durch Vertauschung der Vektoren und das Linkssystem .

Beispiel D

Durch zyklische Vertauschung erhält man aus dem Rechtssystem das Rechtssystem und aus diesem wieder das Rechtssystem .