Krümmung und Krümmungskreisradius

1. Krümmung einer Kurve
Die Krümmung K einer Kurve im Punkt P ist der Grenzwert des Verhältnisses des Winkels zwischen den positiven Tangentenrichtungen in den Punkten P und N zur Bogenlänge für
(3.512)

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Das Vorzeichen der Krümmung K gibt an, ob die Kurve mit ihrer konkaven Seite nach der positiven (K >0) oder negativen (K <0) Seite der Kurvennormalen zeigt (s. Kurvennormale). Anders ausgedrückt liegt der Krümmungsmittelpunkt für K >0 auf der positiven Seite der Kurvennormalen, für K <0 auf der negativen. Manchmal wird die Krümmung K prinzipiell als positive Größe aufgefaßt. Dann ist immer der Absolutbetrag des Grenzwertes zu nehmen.

2. Krümmungskreisradius einer Kurve
Der Krümmungskreisradius R einer Kurve im Punkt P ist der reziproke Wert des Betrags der Krümmung:
(3.513)

Die Krümmung K ist in einem Punkt P um so größer, je kleiner der Krümmungskreisradius R ist.

Beispiel A

Für einen Kreis mit dem Radius a sind Krümmung K =1/a und Krümmungskreisradius R =a für alle Punkte konstant.
Beispiel B

Für die Gerade ist K =0 und

3. Formeln für Krümmung und Krümmungskreisradius
Mit und gilt allgemein
(3.514)

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Daraus ergeben sich für die unterschiedlichen Definitionsformen der Kurvengleichungen verschiedene Ausdrücke für K und

Definition gemäß (3.501):
(3.515)
Definition gemäß (3.502):
(3.516)
Definition gemäß (3.500):
(3.517)
Definition gemäß (3.503):
(3.518)
Beispiel A

Beispiel B

Beispiel C

Beispiel D