Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems

Ein lineares Gleichungssystem heißt lösbar, wenn wenigstens ein Vektor existiert, der (4.107a) zu einer Identität macht. Anderenfalls heißt das System unlösbar.
Das Lösungsverhalten hängt vom Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ab, die durch Hinzufügen der Komponenten des Vektors als (n + 1)-te Spalte zur Matrix entsteht.
Im Folgenden wird die Lösbarkeit inhomogener und homogener Systeme betrachtet.

1. Allgemeine Regel für das inhomogene System:

Das inhomogene System ist genau dann lösbar, wenn

ist. Für gilt die folgende Fallunterscheidung:

d.h., n-r Unbekannte können als Parameter frei gewählt werden.

Beispiel A

Die Matrix hat den Rang 2, die erweiterte Koeffizientenmatrix den Rang 3, d.h., das System ist unlösbar.

Beispiel B

Die Matrizen und haben beide den Rang 3. Wegen r = n = 3 ist die Lösung eindeutig. Sie lautet:

Beispiel C

Die Matrizen und haben beide den Rang 2. Das System ist lösbar, aber wegen r < n nicht eindeutig. Man kann n - r = 2 Unbekannte als freie Parameter wählen und erhält z.B.:

Beispiel D

Die Anzahl der Gleichungen stimmt mit der Anzahl der Un- bekannten überein, aber das System ist wegen unlösbar.

2. Triviale Lösung und Fundamentalsystem des homogenen Systems:

1. Das homogene Gleichungssystem besitzt stets die sogenannte triviale Lösung
   
2. Besitzt es eine nichttriviale Lösung d.h. , dann ist auch mit k beliebig reell eine Lösung des homogenen Gleichungssystems. Besitzt es l nichttriviale, linear unabhängige Lösungen ..., dann bilden diese ein sogenanntes Fundamentalsystem, und die allgemeine Lösung des homogenen linearen Gleichungssystems ist von der Form

   Gilt für den Rang der Koeffizientenmatrix des homogenen Gleichungssystems r < n, wobei n die Anzahl der Unbekannten ist, dann besitzt das homogene Gleichungssystem ein Fundamentalsystem von Lösungen. Im Falle r = n hat das homogene System nur die Triviallösung.
   Zur Bestimmung eines Fundamentalsystems im Falle r < n können n - r Unbekannte als freie Parameter gewählt werden, und zwar derart, daß sich die übrigen Unbekannten durch diese ausdrücken lassen, d.h., die entsprechende r-reihige Unterdeterminante darf nicht Null sein. Man kann das durch Umordnen der Gleichungen und Unbekannten erreichen. Erhält man z.B.

   dann ergeben sich die Fundamentallösungen z.B. durch die folgende Wahl der freien Parameter:

Beispiel

.	Der Rang der Matrix ist gleich 2. Das Gleichungssystem läßt sich nach x1 und x2 auflösen, und man erhält: . Fundamentallösungen sind und .