Fundamentalsystem von Lösungen

Ein System von n Lösungen einer homogenen linearen Differentialgleichung wird Fundamentalsystem genannt, falls diese Funktionen in dem betrachteten Intervall linear unabhängig sind, also ihre Linearkombination für kein Wertesystem der , ausgenommen für , identisch verschwindet, d.h. für alle x-Werte in dem betreffenden Intervall.
Die Lösungen einer linearen homogenen Differentialgleichung bilden genau dann ein Fundamentalsystem, wenn ihre WRONSKI-Determinante

von Null verschieden ist. Für jedes Lösungssystem einer homogenen linearen Differentialgleichung gilt die Formel von LIOUVILLE:

Aus dieser Gleichung folgt, daß die WRONSKI-Determinante nur identisch verschwinden kann. Das bedeutet: Die n Lösungen der homogenen linearen Differentialgleichung sind genau dann linear abhängig, wenn nur an einer einzigen Stelle x₀ des betrachteten Intervalls W(x₀) = 0 gilt. Wenn dagegen die Lösungen ein Fundamentalsystem von Lösungen bilden, dann lautet die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differentialgleichung (9.33)