Satellitennavigation

Es soll die Orientierung eines die Erde umkreisenden künstlichen Satelliten bestimmt werden. Ansatz: Die Fixsterne werden als unendlich fern angenommen, deshalb ist die Richtung von der Erde und vom Satelliten zum Fixstern gleich (s. folgende Abb.). Alle Unterschiede in den Messungen sind einzig und allein auf die unterschiedlichen Koordinatensysteme und damit auf die unterschiedlichen Orientierungen der Koordinatensysteme zurückzuführen.

Es sei der Einheitsvektor, der den i-ten Fixstern aus dem festen Koordinatensystem anvisiert und der Einheitsvektor zum gleichen Fixstern im Koordinatensystem des Satelliten. Die relative Rotation der beiden Koordinatensysteme kann durch eine Einheitsquaternion beschrieben werden:

Werden mehrere Fixsterne anvisiert, so sind die Daten durch Messfehler überlagert und die Lösung wird als Kleinste-Quadrate-Lösung bestimmt, d.h. als Minimum von

da und Einheitsvektoren sind. Da die Einheitsquaternionen eine LIE-Gruppe sind, kann man die kritischen Punkte aus

von Q² gewinnen:

Da und reine Quaternionen sind und deshalb usw. gilt, vereinfacht sich das Funktional zu

Da hier beliebig ist, verschwindet der Ausdruck, wenn gilt

Es sei die Rotationsmatrix, die durch die Einheitsquaternion h repräsentiert wird, d.h. Mit der 3 x 3 Matrix

zum Vektor gilt für jeden Vektor

Daher ergeben sich die kritischen Punkte des Minimierungsproblems aus

mit Zerlegt man in eine symmetrische 3 x 3-Matrix und eine Rotationsmatrix d.h. dann erhält man 4 Lösungen. Zunächst die Lösung aber auch wobei die Rotationsmatrix der Rotation um um den j-ten Einheitsvektor von ist. Die Kleinste-Quadrate-Lösung, die minimiert, ist

wobei die Rotation um um den betragsmäßig kleinsten Eigenvektor von ist.