Quaternionen und Anwendungen

Die Quaternionen wurden 1843 vom irischen Mathematiker Sir WILLIAM ROWAN HAMILTON erfunden. Die grundlegende Frage, die zur Erfindung der Quaternionen führte, besteht darin, wie man Vektoren (des dreidimensionalen Euklidischen Raums ) dividieren kann. Dies ist nur möglich durch die Einbettung in den und die Einführung der Quaternionenmultiplikation, die zu dem Schiefkörper der Quaternionen führt.
Die Quaternionen ordnen sich ebenso wie die komplexen Zahlen als Spezialfälle in eine CLIFFORD-Algebra der Ordnung n mit 2ⁿ verallgemeinerten Zahlen als Basis ein [[4.20]], [[22.25]]:

Die folgenden Spezialfälle sind von praktischer Bedeutung:

n = 1

 2-dimensionale komplexe Zahlen mit

n = 2

Quaternionen als 4-dimensionale Zahlen mit

und der Multiplikationsregel (4.158). In der Physik werden die PAULIschen Spinmatrizen als Quaternionen dargestellt.

n = 3

Biquaternionen.

n = 4

CLIFFORD-Zahlen finden sich in der Physik als DIRAC-Matrizen wieder.

Da eine Quaternion eine Vierheit ist, d.h. eine Größe, die aus 4 Komponenten besteht, muß es im Deutschen die Quaternion heißen. Am häufigsten werden Quaternionen zur Beschreibung von Rotationen verwendet. Die Vorteile der Quaternionen dabei sind:

• die Rotation erfolgt direkt um die gewünschte Achse,
• das Problem des Gimbal Lock (Verschwinden einer Dimension, z.B. eine Blockade der kardanischen Aufhängung beim Kreiselkompass) existiert nicht.

Der Nachteil der Quaternionen ist, daß man damit nur Rotationen berechnen kann. Für die Darstellung von Translationen, Skalierungen und Projektionen muß man wieder Matrizen verwenden. Man kann diesen Nachteil durch Biquaternionen überwinden, die alle Starrkörperbewegungen darstellen können, also insbesondere Rotationen und Translationen. Weitere Anwendungen finden die Quaternionen bei der Satellitennavigation, in der Vektoranalysis und in der Physik.