Skalares und dyadisches Produkt zweier Vektoren

Für zwei Vektoren und die als einspaltige bzw. einzeilige Matrizen dargestellt werden können, gibt es bei der Matrizenmultiplikation die folgenden zwei Möglichkeiten der Produktbildung:
Ist vom Typ (1,n) und vom Typ (n,1), dann ist das Produkt vom Typ (1,1), also eine Zahl. Man spricht dann vom Skalarprodukt zweier Vektoren.
Ist dagegen vom Typ (n,1) und vom Typ dann ist das Produkt vom Typ (n,m), also eine Matrix. Man spricht in diesem Falle vom dyadischen Produkt zweier Vektoren.

1. Skalarprodukt zweier Vektoren:

Unter dem Skalarprodukt eines Zeilenvektors mit einem Spaltenvektor von je n Elementen versteht man die Zahl

Das Kommutativgesetz der Multiplikation gilt hier im allgemeinen nicht. Daher ist die Reihenfolge von und exakt einzuhalten. Bei Vertauschung der Reihenfolge, also würde sich ein dyadisches Produkt ergeben.

2. Dyadisches Produkt oder Tensorprodukt zweier Vektoren:

Unter dem dyadischen Produkt eines Spaltenvektors der Dimension n mit einem Zeilenvektor der Dimension m versteht man die Matrix

vom Typ (n,m). Auch hier gilt das Kommutativgesetz der Multiplikation im allgemeinen nicht.