Rechenregeln

1. Elementare algebraische Operationen:

Die Multiplikation eines Tensors mit einer Zahl und die Addition und Subtraktion von Tensoren gleicher Stufe erfolgen komponentenweise analog zu den entsprechenden Operationen bei Vektoren und Matrizen.

2. Tensorprodukt:

Die Tensoren A bzw. B mit den Komponenten bzw. seien von der Stufe m bzw. n. Dann bilden die 3^m+n Skalare

die Komponenten eines Tensors C der Stufe Man schreibt C = AB und spricht vom Tensorprodukt von A und B. Es gelten Assioziativ- und Distributivgesetz:

3. Dyadisches Produkt:

Das Produkt zweier Tensoren 1. Stufe A = (a₁,a₂,a₃) und B =(b₁,b₂,b₃) ergibt einen Tensor 2. Stufe mit den Elementen

d.h., das Tensorprodukt stellt die Matrix

dar. Diese wird auch als dyadisches Produkt der beiden Vektoren und bezeichnet.

4. Verjüngung:

Setzt man in einem Tensor der Stufe zwei Indizes gleich und summiert über sie, so erhält man einen Tensor der Stufe m-2 und spricht von einer Verjüngung des Tensors.

Beispiel

Der 2stufige Tensor C  von (4.74a) mit der das Tensorprodukt der beiden Vektoren und darstellt, wird über die Indizes i und j verjüngt, so daß man mit

a_ib_i=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃ (4.75)

einen Skalar, also einen Tensor nullter Stufe erhält. Er stellt das Skalarprodukt der Vektoren und dar.