Symmetriegruppen

Zu jeder Symmetrieoperation S gibt es eine inverse Operation die S wieder rückgängig macht, d.h., es gilt

(5.178)

Dabei bezeichnet die identische Operation, die den gesamten Raum unverändert läßt. Die Gesamtheit der Symmetrieoperationen eines räumlichen Objektes bildet bezüglich der Hintereinander-Ausführung eine Gruppe, die im allgemeinen nichtkommutative Symmetriegruppe des Objektes. Dabei gelten die folgenden Beziehungen:

  1. Jede Drehung ist das Produkt zweier Spiegelungen. Die Schnittgerade der beiden Spiegelungsebenen ist die Drehachse.
  2. Für zwei Spiegelungen und gilt
    (5.179)

    genau dann, wenn die zugehörigen Spiegelungsebenen identisch sind oder senkrecht aufeinander stehen. Im ersten Fall ist das Produkt die Identität im zweiten die Drehung

  3. Das Produkt zweier Drehungen mit sich schneidenden Drehachsen ist wieder eine Drehung, deren Achse durch den Schnittpunkt der gegebenen Drehachsen geht.
  4. Für zwei Drehungen C2 und C2' um dieselbe oder um zwei zueinander senkrechte Achsen gilt:
    (5.180)

    Das Produkt ist jeweils wieder eine Drehung. Im ersten Fall ist die zugehörige Drehachse die gegebene, im zweiten steht die Drehachse senkrecht auf den beiden gegebenen.