Unterräume, Dimensionsformel

1. Unterraum:

Es sei V ein Vektorraum und U eine Teilmenge von V. Bildet U bezüglich der Operationen aus V einen Vektorraum, so heißt U ein Unterraum von V.
Eine nichtleere Teilmenge U von V ist genau dann Unterraum, wenn für alle und alle auch u₁+u₂ und in U liegen (Unterraumkriterium).

2. Kern, Bild:

Es seien -Vektorräume. Ist eine lineare Abbildung, so sind die Unterräume Kern (Bezeichnung: ker f) und Bild (Bezeichnung: im f) wie folgt definiert:

So ist zum Beispiel die Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems der Kern der durch die Koeffizientenmatrix vermittelten linearen Abbildung.

3. Dimension:

Die Dimension bzw. im f werden Defekt f bzw. Rang f genannt. Zwischen diesen Dimensionen besteht der Zusammenhang

der Dimensionsformel genannt wird. Ist speziell Defekt f=0, d.h. dann ist die lineare Abbildung f injektiv und umgekehrt. Injektive lineare Abbildungen werden regulär genannt.