Euklidische Vektorräume, Euklidische Norm

Um in abstrakten Vektorräumen Begriffe wie Länge, Winkel, Orthogonalität verwenden zu können, werden EUKLIDische Vektorräume eingeführt.

1. Euklidischer Vektorraum:

Es sei V ein reeller Vektorraum. Ist eine Abbildung mit folgenden Eigenschaften (statt wird geschrieben), dann gilt für alle und für alle

und heißt Skalarprodukt auf . Ist auf V ein Skalarprodukt erklärt, so heißt V ein EUKLIDischer Vektorraum.

2. Euklidische Norm:

Mit wird die EUKLIDische Norm (Länge) von v bezeichnet. Der Winkel zwischen v,w aus V wird über die Formel

erklärt. Ist so werden v und w zueinander orthogonal genannt.

Beispiel

Im Zusammenhang mit FOURIER-Reihen werden Funktionen der Form und betrachtet. Diese Funktionen können als Elemente von aufgefaßt werden. Im Funktionenraum C[a,b] wird durch

ein Skalarprodukt erklärt. Wegen

sind die Funktionen und für alle paarweise zueinander orthogonal. Diese Orthogonalität trigonometrischer Funktionen wird zur Berechnung der FOURIER-Koeffizienten bei der harmonischen Analyse ausgenutzt.