Summe und Produkt zweier linearer Operatoren

Sind und sowie lineare Operatoren, so definiert man die Summe zweier linearer Operatoren

und das Produkt zweier linearer Operatoren

Hinweise:
1. Mit a,b und c sind auch a+b und ac wieder lineare Operatoren.
2. Das Produkt (5.234) stellt die Hintereinanderausführung der beiden linearen Operatoren a und c dar.
3. Das Produkt zweier linearer Operatoren ist im allgemeinen nicht kommutativ, d.h., im allgemeinenen gilt:

Im Gegensatz dazu liegt Vertauschbarkeit vor, wenn gilt:

Der Ausdruck ca -ac wird in der Quantenmechanik als Kommutator bezeichnet. Im Falle von (5.235a) sind die Operatoren a und c nicht vertauschbar, d.h., es ist unbedingt auf ihre Reihenfolge zu achten.

Beispiel

Als Beispiel für Summe und Produkt zweier linearer Operatoren können Summe und Produkt zweier entsprechender Matrizen angesehen werden.