Begriff des liniearen Operators

Es seien V und W zwei Vektorräume. Jede eindeutige Abbildung a von V in W heißt lineare Abbildung, lineare Transformation oder linearer Operator (s. auch Lineare Operatoren und Funktionale) von V in W genau dann, wenn gilt:

Beispiel A

Die Abbildung des Raumes der stetigen Funktionen in den der reellen Zahlen ist linear.

Lineare Abbildungen , bei denen wie in diesem Beispiel gilt, werden lineare Funktionale genannt.

Beispiel B

Die Abbildung a des Raumes in den Vektorraum W der Polynome höchstens (n-1)-ten Grades ist linear:

Jedem n-dimensionalen Vektor wird ein Polynom vom Grade zugeordnet.

Beispiel C

Ist und , dann sind alle linearen Operatoren durch reelle Matrizen vom Typ (m,n) gegeben. Die Gleichung entspricht dem linearen Gleichungssystem (4.104a)