Restklassen, Restklassenring

1. Restklassen modulo m:

Da die Kongruenz modulo m eine Äquivalenzrelation in ist, induziert diese Relation eine Klasseneinteilung von in Restklassen modulo m:

Die Restklasse a modulo m   besteht aus allen ganzen Zahlen, die bei Division durch m den gleichen Rest wie a lassen. Es gilt [a]_m=[b]_m genau dann, wenn mod m ist.
Zum Modul m gibt es genau m Restklassen, zu deren Beschreibung man in der Regel ihre kleinsten nichtnegativen Repräsentanten verwendet:

2. Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation:

In der Menge der Restklassen modulo m wird durch

eine Restklassenaddition bzw.Restklassenmultiplikation erklärt.
Diese Restklassenoperationen sind unabhängig von der Auswahl der Repräsentanten, d.h., aus

folgt

und

3. Restklassenring modulo m:

Die Restklassen modulo m bilden bezüglich der Restklassenaddition und Restklassenmultiplikation einen Ring mit Einselement, den Restklassenring modulo m. Ist p eine Primzahl, dann ist der Restklassenring modulo p ein Körper.