Dualitätsprinzip

1. Dualisieren:

In den im vorhergehenden Abschnitt betrachteten Axiomen  einer BOOLEschen Algebra erkennt man folgende Dualität: Ersetzt man in einem Axiom durch durch , 0 durch 1 und 1 durch 0, dann erhält man das jeweils andere Axiom. Man sagt, diese beiden Axiome sind zueinander dual und nennt den Ersetzungsprozeß Dualisieren. Durch Dualisieren erhält man aus einer Aussage über BOOLEsche Algebren die dazu duale Aussage.

2. Dualitätsprinzip für Boolesche Algebren:

Die duale Aussage zu einer wahren Aussage über BOOLEsche Algebren ist wieder eine wahre Aussage über BOOLEsche Algebren, d.h., mit jeder bewiesenen Aussage ist gleichzeitig auch die dazu duale Aussage bewiesen.

Aus den Axiomen folgen z.B. folgende Eigenschaften für BOOLEsche Algebren:

(E1) Die Operationen und sind idempotent:

(E2) de Morgansche Regeln:

(E3) Eine weitere Eigenschaft:

Es genügt auch hier, von jeweils untereinanderstehenden (dualen) Aussagen nur eine zu beweisen, während die dritte Aussage zu sich selbst dual ist.