Teilmengen

1. Teilmenge:

Sind A und B Mengen und gilt

dann heißt A Teilmenge von B, und man schreibt: Mit anderen Worten: A ist Teilmenge von wenn alle Elemente von A auch zu B gehören. Damit gilt auch stets .
Gibt es für in B weitere Elemente, die nicht in A vorkommen, so heißt A echte Teilmenge von , und man schreibt Die folgende Abbildung zeigt A als echte Teilmenge der Menge

Beispiel

Es seien A = {2, 4, 6, 8, 10} eine Menge gerader Zahlen und eine Menge natürlicher Zahlen. Da die Menge A die ungeraden Zahlen nicht enthält, ist A eine echte Teilmenge von

2. Leere Menge:

Es erweist sich als sinnvoll, die leere Menge die kein Element enthält, einzuführen. Wegen des Extensionalitätsprinzips gibt es nur eine solche Menge.

Beispiel A

Die Menge ist leer.

Beispiel B

Für jede Menge M gilt d.h., die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge.

3. Gleichheit von Mengen:

Zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn jede eine Teilmenge der anderen ist:

Diese Tatsache wird häufig zum Beweis der Gleichheit zweier Mengen benutzt.

4. Potenzmenge:

Die Menge aller Teilmengen A einer Menge M nennt man Potenzmenge von M und bezeichnet sie mit , d.h. .

Beispiel

Für die Menge M={a,b,c,} lautet die Potenzmenge
.
Es gilt:

1. Hat eine Menge Elemente, so hat ihre Potenzmenge Elemente.
2. Für jede Menge M gilt , d.h. die leere Menge ist Potenzmenge jeder Menge .

5. Kardinalzahl:

Die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M heißt Kardinalzahl von M und wird mit oder manchmal auch | M | bezeichnet.
Auch unendlichen Mengen werden Kardinalzahlen zugeordnet.