Vereinigung, Durchschnitt, Komplement

Durch Mengenoperationen werden aus gegebenen Mengen auf verschiedene Weise neue Mengen gebildet.

1. Vereinigung:

Seien A und B Mengen. Die Vereinigungsmenge oder die Vereinigung (Bezeichnung ) ist definiert durch

Man liest A vereinigt mit B .
Sind A und B durch die Eigenschaften E₁ bzw. E₂ beschrieben, dann enthält die Vereinigungsmenge die Elemente, die wenigstens eine der beiden Eigenschaften besitzen, also wenigstens zu einer der beiden Mengen gehören.
In der linken Abbildung ist die Vereigungsmenge durch das schattiert gezeichnete Gebiet dargestellt.

Beispiel

2. Durchschnitt:

Seien A und B Mengen. Die Schnittmenge oder der Durchschnitt (Bezeichnung ) ist definiert durch

Man liest A geschnitten mit B .
Sind A und B durch die Eigenschaften E₁ bzw. E₂ beschrieben, dann enthält die Elemente, die beide Eigenschaften E₁ und E₂ besitzen.
In der mittleren Abbildung ist die Schnittmenge schattiert dargestellt.

Beispiel

Mit Hilfe des Durchschnitts der Teilermengen T(a) und T(b) zweier Zahlen a und b läßt sich der größte gemeinsame Teiler (ggT) bestimmen.
Für a=12 und b=18 ist T(a)={1,2,3,4,6,12} und so daß die Zahl ggT(12,18)=6 ergibt.

Disjunkte Mengen: Zwei beliebige Mengen A und die kein gemeinsames Element besitzen, nennt man elementfremd oder disjunkt; für sie gilt

d.h., ihr Durchschnitt ist eine leere Menge.

Beispiel

Der Durchschnitt der Menge der ungeraden und der Menge der geraden Zahlen ist leer, d.h.

3. Komplement:

Betrachtet man nur Teilmengen einer vorgegebenen Grundmenge , z.B. die Teilmenge , so besteht die Komplementärmenge oder das Komplement C_M(A) von A bezüglich M aus allen Elementen von , die nicht zu A gehören:

Man liest Komplement von A bezüglich M .
Ist die Grundmenge M aus dem Zusammenhang heraus offenbar, wird für die Bezeichnung der Komplementärmenge auch das Symbol verwendet. In der rechten Abbildung ist das Komplement schattiert dargestellt.