Klassischer Mengenbegriff und unscharfe Mengen

1. Klassische Menge:

Der klassische Mengenbegriff ist zweiwertig, und die klassische BOOLEsche Mengenalgebra ist isomorph zur zweiwertigen Aussagenlogik. Zu jeder Menge A über einer Grundmenge X existiert eine Funktion

die für jedes Element angibt, ob x Element der Menge A ist oder nicht:

2. Unscharfe Menge:

Das Konzept der unscharfen Mengen basiert aus logischer Sicht auf der Idee, den Zugehörigkeitsgrad eines Elements als den graduellen Wahrheitswert einer Aussage im Intervall [0,1] zu betrachten. Zur mathematischen Modellierung einer Fuzzy-Menge A benötigt man eine Funktion, die anstatt in die Menge {0,1} in das Intervall [0,1] abbildet, d.h.:

Mit anderen Worten: Jedem Element kann eine Zahl im Intervall [0,1] zugeordnet werden, die den Grad der Zugehörigkeit von x zu A repräsentiert. Die Abbildung heißt Zugehörigkeitsfunktion. Der Funktionswert an der Stelle x heißt Zugehörigkeitsgrad. Die unscharfen Mengen A,B,C etc. über X werden auch unscharfe Teilmengen von X genannt. Die Gesamtheit aller unscharfen Mengen über X sei mit F(X) bezeichnet.