Verkettung oder Fuzzy-Relationenprodukt

1. Definition:

Es seien und aber auch speziell mit dann versteht man unter der Verkettung oder dem Fuzzy-Relationenprodukt :

Verwendet man über endlichen Grundbereichen eine Matrixdarstellung analog (5.391b), so läßt sich die Verknüpfung wie folgt motivieren: Es seien gegeben und sowie die Matrixdarstellung von R,S in der Form R=(r_ij) und S=(s_jk) mit sowie

Wird für die Verknüpfung die Matrixdarstellung t_ik gewählt, dann ist

Als Ergebnis erhält man nicht die übliche Form der Matrixmultiplikation, da die Supremumbildung anstelle der Summenbildung und die Minimumbildung anstelle der Produktbildung zur Anwendung kommen.

Beispiel

Mit den Darstellungen für r_ij und s_jk sowie mit Gleichung (5.396) kann die inverse Relation R^-1 durch die zu (r_ij) transponierte Matrix dargestellt werden.

2. Interpretation:

Sei R eine Relation von X nach Y und S eine Relation von Y nach dann sind folgende Verknüpfungen möglich:

1. Wird die Verknüpfung aus R und S als ein max-min-Produkt definiert, dann wird das vorstehende Fuzzy-Verknüpfungsprodukt als max-min-Verknüpfung bezeichnet. Das Zeichen sup steht für Supremum und bezeichnet den größten Wert, wenn kein Maximum vorliegt; es wird oft als max-Operation aufgefaßt.
2. Wird die Produktbildung wie bei der bekannten Matrix-Multiplikation vorgenommen, dann erhält man die max-prod-Verknüpfung.
3. Bei der max-average-Verknüpfung wird die Multiplikation  durch eine Mittelwertbildung ersetzt.