Definition

Eine Menge versehen mit einer binären Operation heißt Gruppe, wenn

• assoziativ ist,
• ein neutrales Element e besitzt und
• zu jedem Element ein inverses Element a^-1 existiert, mit

Eine Gruppe ist also eine spezielle Halbgruppe.
Das neutrale Element einer Gruppe ist eindeutig bestimmt. Außerdem besitzt jedes Gruppenelement genau ein Inverses. Ist die Operation kommutativ, so spricht man von einer ABELschen Gruppe.
Ist die Gruppenoperation als Addition + geschrieben, so wird das neutrale Element mit 0 und das inverse Element eines Elementes a mit -a bezeichnet.

Beispiele für Gruppen

Beispiel A

Zahlenbereiche (außer ) bezüglich Addition.

Beispiel B

und bezüglich Multiplikation.

Beispiel C

bijektiv} bezüglich Hintereinanderausführung von Abbildungen (symmetrische Gruppe).

Beispiel D

Man betrachte die Menge D_n aller Deckabbildungen eines regelmäßigen n-Ecks in der Ebene. Dabei beschreibt eine Deckabbildung den Übergang zwischen zwei Symmetrielagen des n-Ecks, d.h. die Bewegung des n-Ecks in eine deckungsgleiche Lage. Werden mit d eine Drehung um und mit die Spiegelung an einer Achse bezeichnet, so hat Elemente:

Bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen bildet D_n eine Gruppe, die Diedergruppe. Dabei gilt und
Der Name Diedergruppe  erklärt sich daraus, daß man das n-Eck als starren Körper auffaßt, der von zwei ebenen Flächenstücken ( Di-eder ) begrenzt wird.

Beispiel E

Alle regulären Matrizen über den reellen bzw. komplexen Zahlen bezüglich Multiplikation.

Hinweis

Matrizen spielen in Anwendungen eine besondere Rolle, insbesondere zur Darstellung linearer Transformationen. Lineare Transformationen lassen sich durch Matrizengruppen klassifizieren.