Gruppentafeln oder CAYLEY-Tafeln

Zur Darstellung endlicher Gruppen werden Gruppen- oder CALEY-Tafeln verwendet: Man notiert die Gruppenelemente als Zeilen- und Spalteneingänge. An der Kreuzung der Zeile mit dem Eingang a und der Spalte mit dem Eingang b steht das Gruppenelement

Beispiel

Ist M ={ 1,2,3}, so bezeichnet man die symmetrische Gruppe SM auch mit S3. Die S3 besteht also aus allen bijektiven Abbildungen (Permutationen) auf der Menge {1,2,3} und hat demzufolge 3! =6 Elemente. Permutationen werden meist zweizeilig notiert, indem man in die erste Zeile die Elemente von M und darunter die jeweiligen Bildelemente schreibt. So erhält man die 6 Elemente der S3 folgendermaßen:

(5.96)

Mit der Hintereinanderausführung (binärer Operationen ) von Abbildungen erhält man für S3 folgende Gruppentafel:

Tabelle: Gruppentafel für S3
(5.97)
  • Aus der Gruppentafel erkennt man, daß die identische Permutation das neutrale Element der Gruppe ist.
  • In der Gruppentafel kommt jedes Element in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor.
  • Das Inverse zu einem Gruppenelement ist aus der Tafel leicht ablesbar; so ist das Inverse zu p4 in der S3 die Permutation p5, da an der Schnittstelle der p4-Zeile mit der p5-Spalte das neutrale Element steht.
  • Ist die Gruppenoperation kommutativ (ABELsche Gruppe), so ist die Tafel symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen ; die S3 ist nicht kommutativ, da z.B.
  • Das Assoziativgesetz ist aus der Gruppentafel nicht ablesbar.