Homomorphismen und Isomorphismen

Zwischen algebraischen Strukturen werden nicht beliebige, sondern strukturerhaltende Abbildungen betrachtet:

1. Gruppenhomomorphismus:

Es seien

und

Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn für alle

gilt:

(5.102)

Als Beispiel sei der Multiplikationssatz für Determinanten erwähnt:

(5.103)

Dabei ist auf der rechten Seite der Gleichung die Multiplikation reeller Zahlen (ungleich Null) und auf der linken Seite die Multiplikation von regulären Matrizen gemeint.

2. Kern:

Ist

ein Gruppenhomomorphismus, so wird die Menge

aller Elemente von G₁, die auf das neutrale Element von G₂ abgebildet werden, Kern von h genannt. Der Kern von h erweist sich als Normalteiler von

3. Gruppenisomorphismus

Ist ein Gruppenhomomorphismus h darüber hinaus bijektiv, so heißt h Gruppenisomorphismus, und die Gruppen G₁ und G₂ heißen zueinander isomorph (Bezeichnung:

). Es gilt: ker h=E.
Isomorphe Gruppen sind von gleicher Struktur, d.h., sie unterscheiden sich nur durch die Bezeichnung ihrer Elemente.

Beispiel

Die symmetrische Gruppe S₃ und die Diedergruppe D₃ sind zueinander isomorphe Gruppen der Ordnung 6 und beschreiben die Deckabbildungen eines gleichseitigen Dreiecks.