Kontinuierliche Gruppen

Die Elemente a einer kontinuierlichen Gruppe G können eindeutig und vollständig durch einen Satz reeller Parameter charakterisiert werden, von denen mindestens einer bei Durchlaufen der Gruppe kontinuierlich variiert. Die Anzahl n der Parameter wird als Ordnung oder Dimension d der kontinuierlichen Gruppe bezeichnet. Eine kontinuierliche Gruppe ist eine unendliche Gruppe.
Jedes Gruppenelement entspricht einem Punkt im n-dimensionalen Parameterraum . Durch die Festlegung, daß dem neutralen Element e der Gruppe G im Parameterraum das n-Tupel entspricht, , wird in ein Koordinatensystem eingeführt. Jeder Umgebung U(a) eines Punktes P(a) im Parameterraum entspricht einer Umgebung W(a) in der Gruppe . Sind und die Parameter des Gruppenelements a bzw. des inversen Elements , dann gilt für die Gruppenmultiplikation :

Beispiel

Die zweidimensionalen Drehungen um einen festen Punkt in einer Ebene bilden eine kontinuierliche Gruppe der Dimension 1. Die Gruppenelemente R werden durch den Drehwinkel bestimmt, . Das neutrale Element der Gruppe ist . Das inverse Element bedeutet eine Drehung um den gleichen Winkel in entgegengesetzter Richtung: . Die Gruppe ist eine ABELsche Gruppe: .

Die Einführung des Drehwinkels ist nicht die einzige Möglichkeit, die Gruppenlemente zu parametrisieren. Jede beliebige monotone Funktion könnte ebenfalls zur Charakterisierung der Gruppenelemente herangezogen werden.