Definition der Lie-Gruppe

Eine kontinuierliche Gruppe G wird LIE-Gruppe genannt, wenn gilt:

1. Die Gruppenmultiplikation ist kontinuierlich, d.h., zu jeder Umgebung W von gibt es eine Umgebung U von a und eine Umgebung V von , so daß für alle auch gilt. Die Parameter des Produktelements sind dann reelle kontinuierliche Funktionen der Parameter von a bzw. b:

   Die Eigenschaften der Funktionen (s. n-stellige Operationen), die die Multiplikation in G bestimmen, folgen aus den Gruppenaxiomen:

   
   

2. Die Funktionen sind beliebig oft stetig differenzierbare Funktionen aller Parameter .
   
   Die Funktionen können dann um (neutrales Element) in eine TAYLOR-Reihe entwickelt werden. Bei Beschränkung auf die infinitesimale Umgebung des neutralen Elements und unter Beachtung der Eigenschaften der Funktionen (s. (5.133)) ergibt sich für die Parameter des Produktelements und des inversen Elements :