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Algebra und Diskrete Mathematik Klassische algebraische Strukturen Lie-Gruppen Infinitesimale Drehungen
Die Matrizen
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(5.136) |
vermitteln die Transformation eines Ortsvektors 
des dreidimensionalen Raumes bei Drehungen mit dem Drehwinkel 
um die Achse 
eines kartesischen Koordinatensystems.
Alle dreidimensionalen Drehungen (eigentliche Drehungen ohne Inversion) bilden die dreiparametrige spezielle orthogonale Gruppe 
; zweidimensionale Drehungen sind eine einparametrige ABELsche Untergruppe SO(2) von .
Eine Entwicklung der trigonometrischen Funktionen in den Matrixelementen von 
ergibt für infinitesimale Drehungen 
eine Liniearisierung der Transformation nach
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(5.137) |
wobei 
die dreidimensionale Einheitsmatrix bezeichnet, 
eine Matrix mit Elementen mindestens der Ordnung 
und die Matrizen
eine Darstellung der infinitesimalen Generatoren der LIE-Gruppe SO(3) liefern. Die Elemente der lokalen LIE-Gruppe sind die Matrizen
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(5.139) |
deren Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen sich nur wenig von 0 unterscheiden. Um zur globalen LIE-Gruppe SO(3) aller endlichen dreidimensionalen Drehungen R zu gelangen, sind infinitesimale Drehungen wiederholt auszuführen:
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(5.140) |
Anstelle der Parameter s1,s2,s3 können auch der Drehwinkel 
und die drei Komponenten a1,a2,a3 eines Einheitsvektors 
in Richtung der Drehachse durch den Koordinatenursprung eingeführt werden, um das Element der Drehgruppe zu bestimmen:
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(5.141) |
