Cartan-Weyl-Basis

Nach einem Theorem von CARTAN kann in einer halbeinfachen LIE-Algebra der Dimension n durch die Transformation

eine spezielle Basis (CARTAN-WEYL-Basis, Standardbasis) so eingeführt werden, daß l linear unabhängige, miteinander kommutierende Operatoren H_i

eine Unteralgebra aufspannen. Die Zahl l wird als Rang der LIE-Algebra (LIE-Gruppe) bezeichnet. Die Operatoren spannen die Teilalgebra der Dimension n-l auf. Sie kommutieren weder untereinander noch mit den Basiselementen . Z.B. gilt:

Die reellen Zahlen lassen sich zu einem Vektor (Wurzelvektor) in einem l-dimensionalen Raum zusammenfassen:

Das System der Wurzelvektoren kann benutzt werden, um die möglichen LIE-Algebren zu klassifizieren. Da zu jeder Darstellung der LIE-Algebra eine Darstellung der entsprechenden lokalen LIE-Gruppe gehört, genügt es, Darstellungen der LIE-Algebra zu finden, um zu einer Klassifizierung der Darstellungen der LIE-Gruppe zu kommen.